АДМИНИСТРАЦИЯ ЗАВОДОУКОВСКОГО ГОРОДСКОГО ОКРУГА

ДЕПАРТАМЕНТ ПО СОЦИАЛЬНЫМ ВОПРОСАМ

 

МУНИЦИПАЛЬНОЕ АВТОНОМНОЕ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ЗАВОДОУКОВСКОГО ГОРОДСКОГО ОКРУГА

«ЗАВОДОУКОВСКАЯ СРЕДНЯЯ ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНАЯ ШКОЛА № 2»

 

 

Старинные математические задачи, как средство повышения интереса школьников к современному уроку математики.

 

 

Автор: Некрасов Игорь Сергеевич

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение  Заводоукоувского городского округа «Заводоуковская средняя общеобразовательная школа №2», 5«А» класс

Научный руководитель:

Дёмина Алена Юрьевна,

учитель истории,

муниципальное автономное общеобразовательное учреждение  Заводоукоувского городского округа «Заводоуковская средняя общеобразовательная школа №2»

 

 

 

 

 

г. Заводоуковск, 2022 г.

​

​

Старинные математические задачи, как средство повышения интереса школьников к современному уроку математики.

Некрасов Игорь Сергеевич

Россия, Тюменская область, Заводоуковский городской округ, город Заводоуковск,  Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Заводоуковского городского округа

 «Заводоуковская средняя общеобразовательная школа № 2», 5«А» класс.

 

Аннотация

​

Английским египтологом Генри Риндом при раскопках в Египте был найден папирус (ПриложениеI). В документе, дошедшем до нас их глубочайшей древности, из загадочного жаркого Египта были записаны арифметические упражнения ученика одной из землемерных древнеегипетских школ. Мне захотелось выяснить, смогу ли я решить данные упражнения, будут ли они интересны моим одноклассникам, сверстникам.

Для подтверждения актуальности исследования я провел социологический опрос среди учащихся 5-ых классов. На основе опроса можно сделать вывод, что современных учеников интересуют старинные задачи.

Цель исследования: определение опытным путём, возможно ли использовать древние исторические задачи на современном уроке математики, в соответствии с рабочей программой учителя; повышают ли древние математические задачи интерес школьника к предмету.

​

Задачи исследования:

1. Узнать, какие математические задачи существовали в древности; сравнить древние исторические задачи и задачи в современном учебнике.

2. Запустить челлендж ВКонтакте и в мессенджерах «Древняя математическая задача», с хештегом #ЯРешаюСтариннуюЗадачу.

3. Собрать древние математические задачи в сборник «Дидактические материалы» для современного урока математики; придать старинным задачам колорит XXI века.

4. Разработать сценарий и провести математический турнир для учеников 5-ых классов, в основе которого будут древние математические задачи.

Методы исследования:

1. Описательный метод. Включает в себя сбор информации, фактического материала из печатной литературы и Интернета,

2. Исторический метод. Поможет осмыслить полученные факты, сопоставив их с ранее известными результатами.

3. Экспериментальный метод. Позволит узнать, возможно ли, доказать или опровергнуть гипотезу: а) через проведение социологического опроса «Как вы относитесь к включению в современный урок математики древней исторической задачи?» б) в ходе беседы с учителями математики и информатики; в) сравнительный анализ учебного материала современного учебника и собранных древних математических задач.

Гипотеза: предположим, что древние математические задачи могут быть использованы на современном уроке математики и повысят интерес школьников к предмету.

В ходе проведённой работы, выяснили:

1. Старинные математические задачи можно найти в разных источниках: учебник по истории, энциклопедии, Интернет. Есть задачи, которые можно применять на современном уроке математики для развития логического мышления и для подготовки к олимпиаде по математике.

2. Современные ученики охотно участвуют в решении старинных математических задач, особенно если использовать современные педагогические приемы: челлендж, математический турнир, интерактивные задания.

3. Есть старинные задачи, которые можно включить в интерактивный сборник «Дидактические материалы» для современного урока математики.

 

 

 

 

Старинные математические задачи, как средство повышения интереса школьников к современному уроку математики

Некрасов Игорь Сергеевич

Россия,Тюменская область, Заводоуковский городской округ, город Заводоуковск,  Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Заводоуковского городского округа

 «Заводоуковская средняя общеобразовательная школа № 2», 5«А» класс.

Научная статья.

Глава 1. Древнеегипетские задачи.

Так называемый папирус Ринда, относящийся ко времени между 2000 и 1700 гг. до н. э.и представляет собой копию ещё более древней рукописи, переписанную неким Ахмесом. Документ оказался заключенным в металлический футляр. В развернутом виде имеет длину 20 м. и ширину 30 см. Писец Ахмес, найдя «ученическую тетрадку» той отдалённейшей эпохи, тщательно переписал все арифметические упражнения будущего землемера вместе с ошибками и исправлениями учителя и дал своему списку торжественное заглавие, которое дошло до нас в следующем неполном виде: «Наставление, как достигнуть знания всех тёмных вещей… всех тайн, скрытых в вещах. Составлено при царе Верхнего и Нижнего Египта Ра-а-усе, дающем жизнь, по образцу древних сочинений времён царя Ра-ен-мата писцом Ахмесом»[1. 57].

В этом интересном документе, насчитывающем около 40 веков и свидетельствующем о ещё более глубокой древности, мы находим примеры умножения (ПриложениеII), выполненные по способу, живо напоминающему наш русский народный метод умножения. Создаётся впечатление, что неведомыми путями он как бы перекочевал из древней страны пирамид в русскую деревню. Если бы обитателю земли фараонов предложили перемножить, например, 19 на 17, он произвёл бы это действие следующим образом: написал бы ряд последовательных удвоений числа 17, затем сложил те числа, которые отмечены знаком «+», и получил верный результат (Приложение III).

Легко увидеть, что подобный приём по существу весьма близок к нашему «крестьянскому» (замена умножения рядом последовательных удвоений). Трудно сказать, у одних ли наших крестьян был такой древний способ умножения. Английские авторы называют его именно «русским крестьянским способом», кое-где в Германии простой народ хотя и пользовался им, но также называл «русским».

​

Глава 2. Русский способ умножения.

В старинной «Арифметике» Л.Ф. Магницкого необходимость твёрдого знания таблицы умножения воспета в стихах (Приложение IV).

Автор стихов, не знал, что существует способ перемножать числа без знания таблицы умножения. Эти способом пользовались русские крестьяне, которые унаследовали его из глубокой древности. Сущность его в том, что умножение любых двух чисел сводится к ряду последовательных делений одного числа пополам при одновременном удвоении другого числа. Деление пополам продолжают до тех пор, пока в частном е получится 1. Параллельно удваивая другое число. Последнее удвоенное число и даёт искомый результат. Нетрудно понять, на чём это способ основан: произведение не изменится, если один множитель уменьшить вдвое, а другой вдвое увеличить. Ясно поэтому, что в результате многократного повторения этой операции получается искомое произведение (Приложение V).

Как поступить, если приходится делить пополам нечётное число? Народный способ легко выводит из этого затруднения. Правило гласит, что в случае нечётного числа нужно откинуть единицу и делить остаток пополам, а к последнему числу правого столбца следует прибавить все те числа этого столбца, которые стоят напротив нечётных чисел левого столбца. Сумма и будет искомым произведением. Практически это делают так, что все строки с чётными левыми числами зачёркивают, остаются только те, которые содержат слева нечётное число.

Приведём пример: (звёздочка указывает, что данную строку надо зачеркнуть):

 

19 х 17

9 х 34

4 х 68*

2 х 136*

1 х 272

 

Сложив незачёркнутые числа, получаем правильный результат:

17 + 34 +272 = 323

На чём основан это приём?

Обоснованность приёма станет ясна, если принять во внимание, что:

 

19 х 17 = (18 + 1) х 17 – 18 х 17 + 17

9 х 34 = (8 + 1) х 34 = 8 х 34 + 34 и т.д.

 

Ясно, что числа 17, 34 и т.п., утрачиваемые при делении нечётного числа пополам, необходимо прибавлять к результату последнего умножения, чтобы получить произведение.

Старинные русские задачи.

Первые сведения о развитии математики на Руси относятся к IX—XII вв. (древнерусская нумерация, метрология, первые системы дробей и др.). В Древней Руси времени Ярослава Мудрого (978—1054) уже существовали общеобразовательные школы. Ценные сведения о математических знаниях содержатся в памятнике древнерусского права «Русская Правда» и в памятниках духовного содержания: «Книга святых тайн Еноха», «Шестоднев», «Толковая палея» и др. Феодальная раздробленность и иноземное нашествие сыграли роковую роль в исторической судьбе, и надолго задержали культурное и научное развитие Киевской и Новгородской Руси. Поэтому вновь математика начинает развиваться на Руси только в XVI в. после освобождения от татарского ига. В первых рукописях создается самобытная русская математическая терминология. Сохранилась рукопись XVI в. «Книга сошному письму», содержащая «статью», посвященную вычислению налога с земельной             площади в «сохах». Для расчетов «сошного письма» применялись русские счеты. Арифметические рукописи XVI в. переписывались и в XVII в. и имели традиционное название «Книга рекома по-гречески арифметика, а по-немецки -  алгоризма, а по-русски цифирная счетная мудрость». Первые русские рукописные книги по математике XVI—XVII вв. были вытеснены замечательной книгой Л. Ф. Магницкого «Арифметика» (1703). Основание Петербургской академии наук пришлось на время бурного расцвета математики и механики. Творчество великого Леонардо Эйлера (1707—1783), много лет проработавшего в России, охватило практически все области физико-математических знаний. Именно в XVIII в. было положено начало формирования русской математической школы. В XIX в. славу нашей Академии принесли блестящие открытия в теории чисел, теории вероятностей и математическом анализе крупнейшего отечественного ученого П. Л. Чебышева (1821 — 1894).

 

Глава 3.Задачи Вавилона.

В Древнем Вавилоне математика зародилась задолго до нашей эры. Вавилонские памятники в виде глиняных плиток (всего около 500 000, причем из них примерно лишь 150 с текстами математических задач и 200 с числовыми таблицами) с клинописными надписями хранятся в различных музеях мира (Приложение VI). Расшифровкой и анализом клинописных текстов много занимались историки-математики О. Нейгебауэр (р. 1899) и Ф. Тюро-Данжен (1872—1944). В этих текстах мы находим способы решения ряда практических задач, связанных с земледелием, строительством и торговлей. Вавилоняне были основоположниками астрономии, создали шестидесятеричную систему счисления, решали сложные уравнения при помощи специальных таблиц. Документальным свидетельством высокой вычислительной культуры служит и высказывание ассирийского царя Ашшурбанипала (VII в. до н. э.): «Я совершаю запутаннейшие деления и умножения»[2. 9].

 

Глава 4. Задачи Архимеда.

Если от математики Древнего Востока до нас дошли отдельные задачи с решениями и таблицы, то в Древней Греции рождается наука математика, основанная на строгих доказательствах. Этот важнейший скачок в истории науки относится к VI— V вв. до н. э.

Древнегреческий ученый Архимед (ок. 287—212 до н. э.) принадлежит к числу тех немногих гениев, творчество которых определило на долгие века судьбу науки, а тем самым и судьбу человечества. Родиной Архимеда был богатый торговый город Сиракузы в Сицилии. Отец Архимеда Фидий был астрономом и рано привил сыну любовь к математике, механике и астрономии. После поездки в Александрию, культурный и научный центр того времени, Архимед возвратился в Сиракузы и до конца жизни переписывался с александрийскими учеными. Математические работы Архимеда подкупают ясностью мысли, изяществом доведенной до совершенства техникой вычислений. Известный греческий историк Плутарх (ок. 46—126 н. э.) пишет: «Во всей геометрии нельзя найти более трудных и глубокомысленных задач, которые были бы решены так просто и ясно, как те, которыми занимался Архимед».

Стомахион Архимеда — классическая игра-головоломка на составление различных фигур из частей особым образом разрезанного исходного квадрата (Приложение VII).

Эта игра была распространена в позднюю эпоху Римской империи (IV— VI вв.). Описание стомахиона сохранилось в двух отрывках из сочинения Архимеда. Начальный греческий текст был найден известным датским историком математики И. Гейбергом в 1906 г. в знаменитом Константинопольском пергаменте, с которого был смыт первоначальный текст. Несколько ранее, в 1899 г., швейцарский историк математики Г. Зутер обнаружил в книгохранилищах Берлина и Кембриджа арабскую рукопись с фрагментами сочинения, озаглавленного «Книга Архимеда о разбиении фигуры стомахиона на 14 частей, находящихся к ней в рациональных отношениях». Овладев секретом «стомахионной мозаики» (составление фигурок может быть совершенно точным или же допускается некоторое приближение), можно составить различные фигурки, например, корабля, меча, шлема, кинжала, колонны, деревца, петуха, курицы, цапли и т. п. При составлении фигур части исходной фигуры можно переворачивать «лицевой» стороной вниз. Необходимо лишь соблюдать условие, чтобы составленная фигура содержала все его 14 частей. Потомки стомахиона — игры танграм (Приложение VIII), яйцо Колумба (Приложение IX) и др.

 

 

Глава 5. Задачи Древнего Китая.

Возникновение китайской цивилизации на берегах реки Хуанхэ относится к началу II тыс. до н. э. Сохранились обозначения цифр на гадательных костях животных XIV в. до н. э. На обломках посуды XIII—XII вв. до н. э. имеются изображения геометрических орнаментов с правильными 5-, 7-, 8-. 9-угольниками. Примерно в 551—479 до н. э. появились первые книги по математике, которые составили основы «Математики в девяти книгах» (III в. до н. э.). Для забвения прежних традиций император Цинь Шихуанди в 221 г. до н. э. приказал сжечь все книги. Но уже вскоре, во II в. до н. э., была изобретена бумага и началось восстановление древних книг. Развивается китайская иероглифическая письменность (в настоящее время из 49 000 иероглифов в основном используется лишь примерно 5000). В XVIII в. была создана китайская энциклопедия «Полное собрание книг, карт, чертежей и рисунков с древности до нынешнего времени» в 5163 томах.

​

Глава 5.1. Задача Ло-шу.

 К глубокой древности относится возникновение магических квадратов, т. е. квадратных таблиц натуральных чисел (n×n), имеющих одну и ту же сумму чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям. Наиболее ранние сведения о магических квадратах содержатся, по-видимому, в древних китайских книгах IV—V вв. до н. э. Самым «старым» из дошедших до нас древних магических квадратов является таблица Ло-шу (2200 г. до н. э.). Название «магические» (волшебные, таинственные) квадраты получили от арабов. Люди верили, что магические квадраты обладают чудесными свойствами, и использовали их как талисманы.

Заполнить натуральными числами от 1 до 9 квадратную таблицу размером 3×3 так, чтобы суммы чисел по всем строкам, столбцам и диагоналям были равны одному и тому же числу 15.

​

Глава 6. Задачи народов Европы.

В середине I тыс. в Европе феодализм пришел на смену рабовладельческому строю. Возникают и укрепляются монархии. Христианство превращается в государственную религию. Центрами распространения знаний и просвещения сначала были монастыри, а позднее университеты. Общим языком ученых становится латынь. Постепенный прогресс культуры и науки в средние века связан с развитием ремесла, производства, торговли. В эпоху Возрождения (XV—XVI вв.) в Европе появляется компас, порох, часы, бумага, книгопечатание. Рост торговли и мореплавания привели к великим географическим открытиям. Повысилась роль математики. Если в начале средних веков математики в основном занимались астрологией и преследовались как колдуны и чернокнижники, то теперь они становятся в центре внимания. На первом этапе математической революции XVII в. была создана аналитическая геометрия. Научная деятельность крупнейших математиков сосредоточилась в прославленных академиях в Париже, Петербурге и Берлине. Дальнейшее расширение и углубление предмета математики привело в начале XIX в. к современному периоду ее развития.

​

Глава 6.1. Задача Алкуина.

Ирландский ученый монах Алкуин (735—604) составлял много занимательных задач. Эту знаменитую задачу Алкуин поместил в своем сочинении «Задачи для оттачивания ума юношей».

Через реку надо перевезти троих: волка, козу и кочан капусты; на лодке, кроме перевозчика, может поместиться только один из трех. Как перевезти их, чтобы коза не могла съесть капусту, а волк не мог съесть козу?

​

Глава 6.2. Задача Жака Озанама.

Французский математик Жак Озанам (1640—1717) — автор занимательной книги «Математические и физические развлечения», которая выдержала много изданий, начиная с 1696 г. Предлагаем задачу из «Курса математики» Озанама.

Трое хотят купить дом за 2400 ливров. Они условились, что первый даст половину, второй — одну треть, а третий — оставшуюся часть. Сколько даст каждый?

 

 

Старинные математические задачи, как средство повышения интереса школьников к современному уроку математики

Некрасов Игорь Сергеевич

Россия,Тюменская область, Заводоуковский городской округ, город Заводоуковск,  Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение Заводоуковского городского округа

 «Заводоуковская средняя общеобразовательная школа № 2», 5«А» класс.

Практическая часть.

Чтобы подтвердить актуальность исследования я провел социологический опрос «Хотели бы вы познакомиться/порешать старинные математические задачи на современном уроке математики?» среди учащихся 5-ых классов. Было опрошено 123 человека. В ходе социологического опроса было выявлено, что большинству учеников интересно на современном уроке решить древнюю математическую задачу (39%). Учащиеся сталкивались с древними задачами на уроке истории, по теме «Письменность и знания древних египтян» (35%). В древней задаче учеников привлекает необычное условие и оформление задачи (на папирусе, клинописная табличка и т.д.) (14%). (Приложение X)

Поиск информации по теме исследования осуществлял сразу в нескольких источниках: посетил школьную и городскую библиотеки, подобрал необходимую литературу; в Интернете нашел сборники «Старинные математические задачи» разных народов мира; запустил челлендж в социальной группе ВКонтакте и в мессенджере «Viber» #ЯРешаюСтариннуюЗадачу. К челленджу присоединилось 7 человек из параллели 9-х классов. Челлендж позволил мобильно расширить число участников, привлеченных к исследовательской работе, повысил ее практическую значимость: повышение интереса современного школьника к изучаемому предмету. Современные школьники знают, что такое «челлендж» и поэтому охотно отозвались, приняли в нем участие. В ходе челленджа познакомились со старинными математическими задачами, решили их, некоторые заработали дополнительные оценки по предмету.

Собранный в ходе исследования материал я показал своему учителю математики Рахманкуловой Ирине Андреевне. Мы сопоставили найденные задачи с учебно-методическим комплексом, по учебному предмету «Математика» и сделали вывод, что старинные математические задачи можно использовать для подготовки школьников к олимпиаде по математике и на уроках математики в 5-6 классах в качестве задачи на логику (Приложение XI).

Чтобы старинные задачи было интереснее решать современному школьнику, я, с помощью классного руководителя, Дёминой Алены Юрьевны, создал интерактивный сборник «Старинные математические задачи. Дидактические материалы». Современное оформление старинного условия и заложенный в оформление интерактив привлекают внимание учеников к решению задач на уроке (Приложение XII (электронное)).

Собранные материалы легли в основу математического турнира «Пифагоры XXI века», проведенного среди учащихся 5-ых классов. Турнир выявил, что современные приемы решения старинных математических задач привлекают внимание школьников. Все получили заряд хорошего настроения, а интерес к изучаемым предметам: история и математика повысился (Приложение XIII).

 

 

Выводы.

1. Древние исторические задачи можно найти в разных источниках: учебник по истории, энциклопедии, Интернет. Есть задачи, которые можно применять на современном уроке математики для развития логического мышления и для подготовки к олимпиаде по математике.

2. Современные ученики охотно участвуют в решении старинных математических задач, особенно если привлекать современные педагогические приемы: челлендж, математический турнир, интерактивные задания.

3. Есть старинные задачи, которые можно включить в интерактивный сборник «Дидактические материалы» для современного урока математики.

 

 

 

Библиографический список.

1. Занимательная арифметика и математика / Яков Перельман.  – Москва: Издательство «Э», 2017. – 2320 с. – (Захватывающая наука Якова Перельмана).

2. Старинные задачи: Кн. для учащихся. Баврин И.И., Фрибус Е.А. — М.: Просвещение, 1994.— 128 с: ил.

3. Большая книга экспериментов для школьников/ Под ред. А. Мейяни; пер. с ит. Э. И. Мотылевой. – М.: ЗАО «РОСМЭН-ПРЕСС», 2008. – 260 с.: ил.

4. Энциклопедия для детей. Т. 23. Универсальный иллюстрированный энциклопедический словарь / Глав. Ред. Е. А. Хлебалина, отв. Ред. Д. И. Люри. – М.: Аванта+, 2004. – 688 с.: ил.